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岩波数学辞典

リーマンのゼータ関数 (開かれた数学)

代数的整数論入門 下　 基礎数学選書

代数学講義 改訂新版

岩波 数学入門辞典

2次形式と2次体の数論： ザギヤー（ザギエ）の傑作　　（2007-06-24）
2次形式の理論と2次体の理論は代数学と解析学が見事に交錯する近代数学の美しい古典である。本書はこの理論の面白さと奥深さの双方を実感できる素晴らしい本である。

第1部「ディリクレ級数」は、第2部「2次体とそのゼータ関数」への序曲になっている。ここでの主要な結果は「ディリクレのL関数のs=1での値L(1,χ)≠0（χ≠χ0）」という著名な事実と「ディリクレ級数の負の整数点での値がその逆メリン変換の漸近展開の係数から求められる」という結果である。

第2部の前半は、2元2次形式の同値分類及びそれによる数の表現という問題意識に導かれている。ここでは2次形式の類数とL関数の特殊値L(1,χ)及び2次体のイデアル類群との相互関係が示され、「イデアル類のデデキントζ関数の係数がそのイデアル類に対応する2次形式による数の表現数に対応する」という事実が示されている。後半の3つの節では、2次形式の有理同値の理論である「種の理論」、2次形式の「簡約理論」、更に「連分数の理論」が美しく交錯して、s=0におけるゼータ関数の特殊値、及びある連分数展開と虚2次体の類数との間の素晴らしい関連が解説されている。

本書は（外国で書かれた）数論の入門書として、セールの『数論講義』と双璧をなす書であると思う。本書の読者には、ベルヌーイ多項式やフルヴィッツゼータ関数などが詳しく解説されている『ベルヌーイ数とゼータ関数』（牧野書店）が面白く、あわせてお薦めできる。